Следующий раздел: 1.4 Сокращение длины Выше по контексту: 1. Специальная Теория Относительности Предыдущий раздел: 1.2 Постулаты СТО   Алфавитный индекс

Разделы


1.3 Математический аппарат СТО

Из постулатов мы можем формально вывести все остальные положения СТО. Для этого надо сначала ввести некоторые понятия:


1.3.1 Мировая точка, мировая линия, сигнал

Будем называть мировой точкой четыре величины: время и три пространственные координаты. Мировой линией будем называть непрерывную линию мировых точек. Очевидно, движение материальной точки может быть представлено в виде мировой линии. Если с мировой точкой происходит какое-то "событие", способное повлиять на другие точки, считаем, что она посылает "сигнал". Сигнал распространяется с максимальной скоростью распространения взаимодействия (сигнала). Иногда инвариантность максимальной скорости распространения взаимодействия выносят в отдельный постулат, но вообще-то в этом особого смысла нет -- это есть следствие принципа относительности и того экспериментального факта, что скорость распространения взаимодействия конечна (N.B.: о ее предельности пока речи нет).


1.3.2 Интервал

Сигнал проходит за малое время $ dt$ расстояние $ c dt$. При этом пространственные координаты изменились на $ dx$, $ dy$ и $ dz$. Следовательно, $ (c dt)^2=dx^2+dy^2+dz^2$ (по теореме Пифагора, ибо малое перемещение мы можем считать прямолинейным) или же, $ cdt^2-dx^2-dy^2-dz^2=0$. Теперь, пусть $ dt$,$ dx$,$ dy$,$ dz$ -- расстояние между двумя произвольными близкими событиями. Введем интервал:

$\displaystyle ds^2=cdt^2-dx^2-dy^2-dz^2.$ (1)

Так как скорость распространения сигнала c не зависит от системы отсчета, нулевой в какой-то системе отсчета интервал (соответствующий событиям испускания и принятия сигнала) будет равен нулю и в любой другой ИСО.


1.3.3 Пространство Минковского, инвариантность интервала

Выражение 1 было бы похоже на квадрат длины вектора в 4х-мерном евклидовом пространстве, если бы не знаки. Однако, мы можем ввести пространство, в котором длина вектора определяется именно таким выражением. Это псевдоевклидово пространство Минковского. Забегая вперед, скажем, что оно характеризуется следующей метрикой: (+1 -1 -1 -1).

Позволим себе небольшое лирическое отступление: использование понятия о 4х-мерном пространстве Минковского не несет в себе никакой глубокой философской истины. Оно вводится просто как математическая сущность, сильно упрощающая запись многих выражений. То есть, нет смысла говорить, что "мы живем в 4х-мерном пространстве-времени, да еще с неевклидовой метрикой" -- это будет пустое словоблудие. Не нужно пытаться что-то себе представить, не нужно призывать "здравый смысл" -- математическая модель (даже не модель, а просто система обозначений) в подобных духовных упражнениях не нуждается.

Рассмотрим значение интервала в двух разных ИСО: $ ds^2$ и $ (ds')^2$. $ ds^2$ и $ (ds')^2$, очевидно, являются бесконечно малыми одного порядка, и, соответственно, мы можем сказать $ ds^2=a\mathchar8705\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char1}{}(ds')^2$, где $ a$ -- некоторая функция, не зависящая от $ ds'$. Более того, a есть функция только относительной скорости систем отсчета, в которых измерены $ ds'$ и $ ds$ (назовем ее $ \vec{V}$). Это утверждение очевидно -- от координат и времени a зависеть не может, ибо это противоречило бы постулату о равнозначности всех точек пространства-времени. Далее, a не может зависеть и от направления $ V$ -- иначе мы бы приняли существование выделенного направления в пространстве.

Определим вид функции $ a(\vert V\vert)$. Для этого рассмотрим три ИСО: $ K_1$, $ K_2$, $ K_3$. Соответственно, интервал в $ K_1$ -- $ ds^2$, в $ K_2$ он будет $ ds^2_2=a(V_{21})*ds^2$, в $ K_3 - ds^2_3=a(V_{31})\mathchar8705\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char1}{}ds^2$, и, так же, $ ds^2_3=a(V_{32})ds^2_2$, или, $ ds^2_3=a(V_{32})\mathchar8705\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n...
...1})\mathchar8705\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char1}{}ds^2$. Отсюда немедленно получаем: $ a(V_{31})=a(V_{32})\mathchar8705\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char1}{}a(V_{21})$. Последовательно поменяв местами индексы у $ K_1$, $ K_2$, $ K_3$, получим систему уравнений, имеющую однозначное решение: $ a(V)=1$. То есть, $ (ds')^2=ds^2$.

Полученный результат об инвариантности интервала мы можем считать формальной математической записью постулатов СТО. Этой удобной, сжатой формой мы и будем пользоваться в дальнейшем, не аппелируя более к выраженным в словесной форме постулатам в п.1.2.


1.3.4 Поворот в пространстве Минковского, матрица Лоренца

Теперь получим вид преобразований временной и пространственных координат при переходе в другую ИСО.

Как было определено ранее, интервал мы можем рассматривать, как квадрат длины некоторого вектора в пространстве Минковского. Назовем этот вектор 4-вектором координат. Преобразование такого вектора при переходе от одной ИСО к другой должно иметь такой вид, чтобы длины (расстояния) в пространстве Минковского сохранялись. По аналогии с известными нам преобразованиями в евклидовом пространстве, назовем это поворотом (ибо в евклидовом пространстве преобразованием, происходящим без изменения расстояний, и при этом более сложным, чем простой параллельный перенос, является поворот). Далее будем рассматривать поворот в одной плоскости, то есть, поворот, затрагивающий только 2 координаты из 4х, ибо, очевидно, любой сложный поворот можно разложить на несколько простых. Так же, отбросим чисто пространственные повороты, не затрагивающие 0-ю координату ($ ct$). И так, получим выражение для поворота компонент вектора $ ct$ и $ x$ вокруг начала координат. Очевидно, мы можем потребовать инвариантности расстояния от начала координат до заданной точки, то есть, $ (ct)^2-x^2=const$. Любое преобразование, удовлетворяющее этому условию, можно записать в форме:

$\displaystyle \begin{pmatrix}ct \cr x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\ch(\phi) ...
...\sh(\phi) & \ch(\phi) \cr \end{pmatrix} \begin{pmatrix}ct' \cr x'\end{pmatrix},$ (2)

$ \phi$ -- некоторая величина, будем называть ее "углом поворота". Так же иногда $ \phi$ называют быстротой (N.B.!!!). Функции $ \ch$ и $ \sh$ называются гиперболическими косинусом и синусом соответственно, причем

$\displaystyle \ch(\phi) \stackrel{\rm def}{\equiv} \frac{e^{\phi}+e^{-\phi}}{2}, \quad \quad
\sh(\phi) \stackrel{\rm def}{\equiv} \frac{e^{\phi}-e^{-\phi}}{2},$

следовательно $ \ch^2(\phi)-\sh^2(\phi) =1$.

Доказательство универсальности подобной записи приводить не будем, ибо оно элементарно.

Пусть $ x'=0$. Тогда можем записать: $ \frac{x}{ct}=\th(\phi)=\frac{\sh(\phi)}{\ch(\phi)}$. $ \frac{x}{t}$ -- очевидно, скорость движения начала координат системы со штрихом относительно системы без штриха, то есть $ V$. Перепишем: $ \th(\phi) = \frac{V}{c}$. Вот, собственно, мы и получили вид преобразования. Осталось избавиться от гиперболических функций (чисто для удобства). Введем обозначения: $ \beta=V/C$, $ \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$. Тогда значения гиперболического синуса и гиперболического косинуса можно записать как: $ \sh(\phi)=\beta\gamma$, $ \ch(\phi)=\gamma$. $ \beta$ будем называть относительной скоростью, или просто скоростью.

Перепишем матрицу этого поворота:

$\displaystyle L=\begin{pmatrix}\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \cr -\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (3)

Поворот вектора-столбца $ X=(ct\ x\ y\ z)$ будем записывать, как $ X=L\mathchar8705\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char1}{}X'$ (поворот в плоскости $ TX$, то есть, переход от системы отсчета $ K'$, которая движется относительно K с относительной скоростью $ \beta$, ее оси параллельны осям $ K$, и движение происходит параллельно оси $ X$). Эта матрица поворота называется иногда матрицей Лоренца, и преобразования координат-времени такого вида называется преобразованиями Лоренца. Еще это преобразование иногда называют бустом.


1.3.5 Общепринятые обозначения

Общепринятые обозначения: 4х-вектор, метрический тензор, ковариантные и контрвариантные величины, немые индексы.

Для обозначения физических величин в пространстве Минковского удобно использовать 4х-векторы. По определению, 4х-вектором является величина, которая преобразуется при переходе из одной ИСО в другую в соответствии с преобразованием Лоренца: $ u=L\mathchar8705\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char1}{}u'$. Очевидно, мы можем получить из одного 4х-вектора другой 4х-вектор, домножая его на инвариантную величину. Во всех остальных случаях справедливость вывода 4х-вектора надо доказывать (см. вывод 4х-скорости). Компоненты 4х-вектора можно записывать в двух формах: ковариантной и контрвариантной. Ковариантная величина пишется с индексом снизу (e.g. $ P_{\mu}$), а контрвариантная -- с индексом сверху (e.g $P^&mu#mu;). Ковариантная величина получается из контрвариантной так: $ A^0=A_0$, $ A^1=-A_1$, $ A^2=-A_2$, $ A^3=-A_3$. То есть, квадрат длины четырехвектора мы можем записать как $ S^2=\sum\limits_{i=0}^{3} A^i * A_i.$

Вообще принято соглашение, по которому в подобных выражениях знак суммы опускается, то есть $ S^2=A^i\mathchar8705\nobreak\discretionary{}{\usefont{OMS}{cmsy}{m}{n}\char1}{}A_i$, и говорится, что индекс пробегает значения от 0 до 3, и подразумевается суммирование по этому индексу. Если индексов 2, то подразумевается два суммирования. Такая запись называется записью с немыми индексами. Для удобства преобразования ко- и контрвариантных величин можно ввести так называемый метрический тензор (метрику пространства Минковского), который имеет вид:

$\displaystyle g=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & -1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr\end{pmatrix}.$ (4)

Тогда преобразование $ A^j$ в $ A_i$ можно записать как: $ A_i=g_{ij} A^j$.

Так же, скалярное произведение любых двух 4-векторов вводится как

$\displaystyle AB=A^{\mu} B_{\mu}=g_{\mu\nu}A^{\mu} B^{\nu} = g^{\mu\nu}A_{\mu} B_{\nu}.$

Одно поднятие или опускание индекса при $ g$ меняет знак на противоположный.

Все это кажется странной и ненужной заумью, однако, как в дальнейшем будет показано, использование метрического тензора и немых индексов очень сильно упрощает запись многих выражений.


1.3.6 Группа Лоренца, группа Пуанкаре

Введем понятие группы преобразований. Пусть есть два преобразования $ f$ и $ g$.

$ G$ называется группой, если для любых $ f$ и $ g$, таких, что $ f\in G$, $ g\in G$, выполняются следующие условия:

1.
$ gf\in G$, $ fg\in G$
2.
$ Ig=g$ ($ I$ -- единичное преобразование, $ I\in G$)
3.
$ gg^{-1}=I (g^{-1}$ -- обратное преобразование.

Очевидно, преобразования вида $ X=LX'$ образуют группу. Для любых преобразований группы Лоренца скалярное произведение двух 4-векторов является инвариантом. Если $ X$ и $ X'$ -- тензоры, то инвариантом группы Лоренца будет

$\displaystyle X_{\nu\rho}^\mu X_{\mu}^{\prime\nu\rho} =
X_{\nu\rho}^{\mu}X_{\prime\nu'\rho}^{\mu'}
g_{\nu}^{\nu'}g_{\mu}^{\mu'}g_{\rho}^{\rho'}.$

Так же инвариантом группы Лоренца является ранг тензора.

Еще одно очевидное свойство любого преобразования группы Лоренца: $ (det\ L)^2=1$.

Возможны следующие частные случаи:

1.
$ L_0^0\geq 1$; $ det\ L = +1$; -- это преобразование группы Лоренца.
2.
$ L_0^0\leq -1$; $ det\ L = -1$, и т.д. -- это преобразование группы Пуанкаре, то есть, преобразования с обращением времени и/или зеркальным отображением пространства.

(c) V.S.Lugovsky aka Mauhuur vsl@ontil.ihep.su



E.M.Baldin@inp.nsk.su
23 Января 2000